ヒラメからビスマス209などが数百Bq/kg検出？ - きまぐれ社会批評（松尾圭ブログ）

表題のようなツイート（http://twitter.com/#!/JYCEagara/status/76401896696463360）を拝見しましたが、ありえない話です。というか、ビスマス209は自然界由来の放射性物質ですし。それで、もし100Bqのビスマス209があったら、どの程度の量なのか計算してみました。式がたくさん出てくるので、自分でやってみたい人はやってみて、みたくない人は結果に飛んでください。

まず、半減期をT秒の放射性物質を考えます。最初に物質が $N_0$ 個あったとすると、t秒後の個数Nは
$N=N_0 e^{-\lambda T}$
と表せます。1秒後には $N_1=N_0 e^{-\lambda}$ 個に減少しているので、1原子1秒あたりの壊変数は
$\frac{N_0 - N_1}{N_0}=1 -2^{-1 / T}$ ―(1)
となります。ここで、ビスマス209の半減期は1900京年 $\approx 6.0 \times 10^{26}$ 秒、比較的半減期の短い炭素11でも20分 $\approx$ 1200秒なので、1/Tは1に比べて十分小さいと見ることができます。そこで式(1)を-1/Tについてテイラー展開すると
$1 - 2^{-1 / T} = 1 - \sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln 2)^n}{n!} \cdot \left(-\frac{1}{T}\right)^n \approx \frac{\ln 2}{T}$
となります。つまり、1原子あたりの放射能は $\frac{\ln 2}{T}$ Bqであるということです。これを元にすると、ビスマス209が1原子あたりにもつ放射能は約 $1.2 \times 10^{-27}$ Bq、1mol( $6.0 \times 10^{23}$ 個)あたりの放射能は約 $7.0 \times 10^{-4}$ Bqとなります。逆に1Bqあたりの物質量は約 $1.4 \times 10^{3}$ molです。とすると、ビスマス209は1molあたり209gなので、100Bqものビスマス209があれば、それは約30トンもあるということになってしまいます。あれ？ということはヒラメ1kgあたり数百ベクレルだと、ヒラメ1kgに対してビスマス209が何十トンもあることになってしまいます。これはありえないですね。ちなみにプルトニウム239が100Bqあれば $4 \times 10^{-8}$ gなので、こちらはあってもおかしくない数字です。